莫比乌斯

今年的多校比赛，莫比乌斯反演的题目经常出现，但是我们队对于这种题可以说是直接放掉，不是因为没学过，多少了解一些，但是也只是皮毛，导致根本就做不出来，其实想一想，其实次数多了，就可以看出原因了，没有过总结，没有过思考，昨天心血来潮，好好的看了一下莫比乌斯反演，有一点感悟！

 

• 什么是莫比乌斯反演

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可以通过​ 反向推导出 ​

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公式：

 

其中 即为莫比乌斯函数。

 

也可以如下定义：

•  

• 分解质因数，无不相同，则

• 其他为0

性质：积性函数

莫比乌斯（容斥的优化）——我的理解

 

怎么求莫比乌斯函数？

• 类似于筛素数的方案，O(nlogn)，一般足够了。

• 级别，无法预处理出1~n的莫比乌斯表，利用因式分解，讨论因子的拿法（类似压状），O(sqrt(n))

栗子：

 

 

 

//求莫比乌斯函数 O(nlogn) void getMu() {
         for(int i = 1; i < maxn; i++) { int target = i == 1 ? 1 : 0; int delta = target - mu[i]; mu[i] = delta; for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i) mu[j] +=delta; } }

 

// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n)) map
    
      moebius(int n) { map
     
       res; vector
      
        primes; //枚举n的质数 for(int i = 2; i*i <= n; i++) { if(n%i==0) { primes.push_back(i); while(n%i==0) n/=i; } } if(n!=1) primes.push_back(n); int m = primes.size(); //不超过n的约数个数 次 for(int i = 0; i < (1<
       
        >j&1) { mu*=-1; d*=primes[j]; } } res[d] = mu; } return res; }
       
      
     
    

 

例题一：

分析：总共26^n，根据容斥，枚举最短循环节d，减去26^d，根据莫比乌斯函数来容斥优化。注意数据范围极大！

#include 
    
      ​ using namespace std; ​ typedef long long ll; // n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n)) map
     
       moebius(int n) { map
      
        res; vector
       
         primes; //枚举n的质数 for(int i = 2; i*i <= n; i++) { if(n%i==0) { primes.push_back(i); while(n%i==0) n/=i; } } if(n!=1) primes.push_back(n); int m = primes.size(); //不超过n的约数个数 次 for(int i = 0; i < (1<
        
         >j&1) { mu*=-1; d*=primes[j]; } } res[d] = mu; } return res; } const int MOD = 10009; int n; //快速幂取模 a^b % mod; ll pow_mod(ll a,ll b) { if(b==0) return 1%MOD; int temp = pow_mod(a,b>>1); temp = temp*temp%MOD; if(b&1) temp = (ll)temp*a%MOD; return temp;}void solve() { ll res = 0; map
         
           mu = moebius(n); for(auto it = mu.begin(); it != mu.end(); it++) { //printf("%d %d\n",it->first,it->second); res += (ll)it->second*pow_mod(26,n/it->first); res = (res%MOD + MOD) % MOD; } printf("%I64d\n",res);}int main(){ scanf("%d",&n); solve(); return 0;}
         
        
       
      
     
    

 

例题二：

 

分析：

 

注意：(1,3),(3,1)相同。

先考虑不同的情况：

 

即：两个区间内互质的对数，同理：总共 对，减去不符合情况的对数，枚举gcd，就有 * 对，然后用莫比乌斯来容斥。

怎么解决（1,3）（3,1）相同的情况呢？

还是容斥！！！

减去较小区间做一遍上述操作的一半。

#include 
    
      ​ using namespace std; ​ const int maxn = 1<<20; int mu[maxn]; //求莫比乌斯函数 void getMu() { for(int i = 1; i < maxn; i++) { int target = i == 1 ? 1 : 0; int delta = target - mu[i]; mu[i] = delta; for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i) mu[j] +=delta; } } int main() { getMu(); int T; scanf("%d",&T); for(int z = 1; z <= T; z++) { int a,b,c,d,k; scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); if(k==0) { puts("0"); continue; } b/=k; d/=k; if(b>d) swap(b,d); //b小 long long ans1 = 0; for(int i = 1; i <= b; i++) ans1 += (long long)mu[i]*(b/i)*(d/i); long long ans2 = 0; for(int i = 1; i <= b; i++) ans2 += (long long)mu[i]*(b/i)*(b/i); ans1 -= ans2/2; printf("%I64d\n",ans1); } return 0;}
    

 

例题三：

题意：给定一个正方体的区间，从坐标(0,0,0)处可以看到多少个整点？

分析：(1,1,1) 能看到，但是(2,2,2)就三点共线挡住了，同理(2,3,4)能看到，但是(4,6,8)就看不到了，可以看出就是 的点，被除以gcd的点挡住了。也就是求 （x,y,z）互质的点对，就是上一题加一维。

值得注意的是区间是[1,n]，整个坐标系可以x = 0等，x等于0，相当于一个平面，减一围。

还有3个坐标轴上的点。

#include 
    
      ​ using namespace std; ​ const int maxn = 1<<20; int mu[maxn]; //求莫比乌斯函数 void getMu() { for(int i = 1; i < maxn; i++) { int target = i == 1 ? 1 : 0; int delta = target - mu[i]; mu[i] = delta; for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i) mu[j] +=delta; } } typedef long long ll; int main() { getMu(); int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n; scanf("%d",&n); ll ans = 3; for(int i = 1; i <= n; i++) ans+= (ll)mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3); printf("%lld\n",ans); } return 0; }
    

 

到此，你就已经入门莫比乌斯了~~~

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